高等数学

积分

微积分

快速理解

，全名叫 微分（Differential），它的意思是“微小的变化量”。

在积分符号 里，意思是：要把前面那个函数的高度，乘以这个底边宽度 ，算出一个微小矩形面积，然后加起来。

我们有时候会看到du,dv这种写法，比如在分部积分的公式里面：

$$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$

这种情况，du是什么？

• 我们假设 是一个关于 的函数，比如 。

• 表示：当 变化了 这么多时，导致 变化了多少？

• 换算公式（核心）：

$$du = u' \cdot dx$$

(也就是： 的微小变化量 = 的导数 的微小变化量)

分部积分

乘法求导法则的变体。

1. 回顾求导公式：假设有两个函数 和 ，把它们乘起来 。
   如果你想求这个乘积的导数，公式是：

$$(uv)' = u'v + uv'$$

1. 两边同时积分：
   积分是求导的逆运算，所以把等式两边都加上积分号 ：

$$uv = \int v \, du + \int u \, dv$$

注：这里为了简洁，把 写成了 ，把 写成了

1. 移项：
   我们要解出 ，所以把另一项移到等号对面：

$$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$

这个公式主要因为有些积分不好直接计算，拆分后更简单。

比如，我们要计算，直接计算式不好计算的，但是我们应用分部积分，就很简单了。

令，

所以 。

最后结果：

$$uv - \int v \, du = x e^x - \int e^x \cdot \mathbf{dx} = x e^x - ^x$$

上面这个是标准答案，但是一开始我们可能会带错。如果直接对比的话，我们可能会这样：

，

这样做没有什么问题，但是让积分变的难算。

因为我们需要算出 是什么。

$$du = e^x(1+x) dx$$

变的更加难算了。

所以我们应用分部积分，需要遵循一定法则： 求导后要变简单， 积分后不要变难。

数学界总结了一个选 的优先级口诀：LIATE。谁在这个列表里排在前面，谁就优先做 。

• L - Logarithmic (对数函数，如 ) —— 求导后变成 ，简化神速！
• I - Inverse Trigonometric (反三角函数，如 )
• A - Algebraic (代数函数，如 ) —— 求导后降次，变简单！
• T - Trigonometric (三角函数，如 ) —— 求导积分都在循环，无所谓。
• E - Exponential (指数函数，如 ) —— 也就是排在最后，通常做 。

回到题目： ：

• 是 A (Algebraic)。
• 是 E (Exponential)。
• A 在 E 前面 所以选 做

级数

定义：简单来说，数列 (Sequence) 是一排排好队的数字（比如 ），而 级数 (Series) 就是把这排数字加起来（）。

• 数列：

• 级数：

研究核心：收敛性 (Convergence) 对于有限个数字，加起来肯定是个确定的数。但级数通常指无穷级数。 我们要问的核心问题是：当我们加到无穷多项时，总和会趋近于一个固定的数值吗？

• 收敛：趋近于固定值（比如上面的例子和是 2）。
• 发散：和趋向无穷大或震荡不定（比如 或 ）。

阿贝尔变换

阿贝尔变换就是离散版的“分部积分”。

公式：

$$\sum_{i=1}^n a_i b_i = S_n b_{n} + \sum_{i=1}^{n-1} S_i (b_i - b_{i+1})$$

(注：根据索引定义不同，公式会有微小差异，比如 变成 ，本质是一样的：边界项 + 前缀和 差分)

连续世界 (微积分),离散世界 (级数)
函数 f(x),数列 an​
积分 ∫f(x)dx,求和 (前缀和) Sn​=∑i=0n​ai​
微分 df/dx,差分 Δan​=an+1​−an​
分部积分公式,阿贝尔变换公式

公式推导

假设我们要计算两个数列乘积的和：。
令 为 的前缀和（即 ，且 ）。
那么显然 。

代入原式：

$$\begin{aligned} \sum_{i=1}^n a_i b_i &= \sum_{i=1}^n (S_i - S_{i-1}) b_i \\ &= (S_1 b_1 - S_0 b_1) + (S_2 b_2 - S_1 b_2) + \dots + (S_n b_n - S_{n-1} b_n) \end{aligned}$$

这里我们把含有 的项重新归类（就像 RoFormer 论文里做的那样）：

含有 的：含有 的：…剩下的边界项： （和 ，通常 ）。

最终得到阿贝尔变换公式：

$$\sum_{i=1}^n a_i b_i = S_n b_{n} + \sum_{i=1}^{n-1} S_i (b_i - b_{i+1})$$

有什么用

阿贝尔变换主要有两个大用途：

用途一：证明级数收敛性 (Dirichlet 判别法 / Abel 判别法)这是教科书里最经典的应用。
假设我们要判断级数 是否收敛。如果：

1. 是一个震荡的数列（比如 , ），直接加很难判断，但它的前缀和 是有界的。
2. 是一个单调递减趋于 0 的数列（比如 ）。

利用阿贝尔变换：

$$\sum a_n b_n \approx \sum S_n (b_n - b_{n+1})$$

• 因为 有界（是个常数范围内的数）。
• 因为 收敛得很快（因为 单调趋于0）。
• 所以变换后的级数很容易证明是绝对收敛的。

用途二：分离变量与估计上界（RoFormer 的用法）