傅里叶变换

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建系（建立坐标系），有了坐标系，点的位置变成了数字，曲线变成了方程，交点变成了解方程，按部就班就能解决几何问题。

坐标系的本质是用坐标轴分解位置，坐标轴的本质是基底向量。笛卡尔坐标系中的基底向量就是u=(1 0), v=(0 1)，如下图所示：

一旦明确了基底向量，就拥有一套双向翻译体系。

用数字线性组合基底，得到这个坐标所对应的抽象的几何空间位置；

反过来，只要能把一个抽象的向量在基底下分解成线性组合，只需要把这些组合的系数拼在一起，就能得到坐标：

向量和坐标之间最重要的对应关系：线性相加
两个抽象的向量相加，得到和向量的坐标，一定是两者坐标一位位对应加起来的。

傅里叶变化要分析的向量是所有的周期函数

傅里叶变化选择的基底是一系列不同周期的正余弦函数。之所以选这个，是因为正弦函数是振动的基本单元，求导，积分都很方便。所以拿来做基底。

从坐标翻译到向量时，把每个单项式乘以坐标的各个系数，再加到一起，就还原了原本的多项式。

从基底分解来得到函数之间的积分、求导关系。

把多项式在单项式的基底下分解的时候，只需要盯着多项式每一项的系数，就能自动得到坐标。

但如果给的是一些乱七八糟的波，如何知道要用几倍的cosx 加 几倍的sinx得到这个波呢？

在抽象的向量和抽象的坐标系里，想要找到坐标对应的系数，让基底线性组合得到想要的向量，需要一套抽象的方法。这个问题的答案就是内积。

在笛卡尔坐标系里面找一个点的横坐标，向x轴做垂线，找交点就好，但是到了更抽象的空间里，我们很难定义垂线和交点这种几何背景过于浓厚的概念。取而代之的是用内积来找坐标。

满足基本条件都可以当作基底

用基底向量组合空间中任意一个向量平常

它的基底是所有形如sinnx cosmx的周期函数，通过线性组合他们，可以表示出几乎所有周期为2pi的函数，比如方波。

傅里叶变换把函数变成了坐标，有什么用？

意义：给出了另一个看待函数的视角

各个不同振动频率所对应的能量大小，每一个正弦波前面的系数，就表示这个正弦周期的振动有多显著，将这些振动系数一一列出，就可以还原的函数形状。这些系数有个专业的名词，叫频谱。

频率小周期大的基底对应的叫做低频区；频率高周期小的基底对应的叫做高频区。

信号处理领域的用法：

语言去噪：信号在频谱中会显示不同频率的成分，而噪声，往往对应着特定的频率区域，只需要在频谱中降低或删除这些能量，就能让语言清晰起来。

流程

具体流程如下：

• 输入： 拿进去一个长度为 的时间序列 （例如 ）。
• 执行 FFT： 。
• 取模（Amplitude）： 计算结果的振幅 。
  • 这时你会得到一个列表，下标是频率 ，值是强度。
• Top-k 筛选： 找到振幅最大的前 个频率点（比如 ）。
  • 含义： 这些是数据里最“强”的节奏。
• 频率转周期（关键公式）：论文中经常出现这个公式：。例子： 假设你输入 100 个点 ()。FFT 告诉你频率 的地方振幅最大。解读： 说明这 100 个点里，有个波形重复了 4 次。周期： 。也就是说，每隔 25 个点，数据就会重复一次规律。

当你再次看论文公式 时，你就把它翻译成：
“我的总时长是 ，FFT 告诉我这里面包含了 个完整的波，所以每一个波的长度就是 除以 。”
这就是你需要的“周期长度”，也是你接下来做自适应窗口截断的核心依据。